5. Радиус и образующая прямого кругового цилиндра равны соответственно 4 и 9. На расстоянии 2 от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси. Найти площадь сечения и площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Радиус цилиндра \( r = 4 \). Образующая (высота) цилиндра \( l = h = 9 \).

Сечение проведено на расстоянии \( d = 2 \) от оси, параллельно оси. Это сечение является прямоугольником.

1. Площадь сечения:
   Одна сторона прямоугольника — высота цилиндра \( h = 9 \).
   Другая сторона — хорда основания. Пусть \( x \) — половина длины этой хорды. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом \( r \), расстоянием от центра до хорды \( d \) и половиной хорды \( x \), по теореме Пифагора: \( r^2 = d^2 + x^2 \).
   \( 4^2 = 2^2 + x^2 \)
   \( 16 = 4 + x^2 \)
   \( x^2 = 12 \)
   \( x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
   Длина хорды \( L = 2x = 4\sqrt{3} \).
   Площадь сечения \( S_{сеч} = h \cdot L = 9 \cdot 4\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \) см².
2. Площадь полной поверхности цилиндра:
   \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \).
   \( S_{полн} = 2 \pi \cdot 4 \cdot 9 + 2 \pi \cdot 4^2 \)
   \( S_{полн} = 72 \pi + 32 \pi = 104 \pi \) см².

Ответ: Площадь сечения равна 36\(\sqrt{3}\) см², площадь полной поверхности цилиндра равна 104\(\pi\) см².