2. Решить уравнение \(\log_3(2x + 1) = \log_3 13 + 1\).

Решение:

Приведём уравнение \(\log_3(2x + 1) = \log_3 13 + 1\) к виду, где оба выражения являются логарифмами с одинаковым основанием.

1. Представим \(1\) как \(\log_3 3\): \(\log_3(2x + 1) = \log_3 13 + \log_3 3\).
2. Используем свойство логарифма \(\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)\): \(\log_3(2x + 1) = \log_3 (13 \cdot 3)\) \(\implies \log_3(2x + 1) = \log_3 39\).
3. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: \(2x + 1 = 39\).
4. Решаем полученное линейное уравнение: \(2x = 39 - 1 \implies 2x = 38 \implies x = \frac{38}{2} = 19\).
5. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области определения логарифма \(2x+1 > 0\). \(2(19)+1 = 38+1 = 39 > 0\). Корень подходит.

Ответ: \( x = 19 \).