5. Найти первообразную функции \(f(x) = 2x^2 + 3\), график которой проходит через точку \((-2;-5)\).

Решение:

Найдём первообразную функции \(f(x) = 2x^2 + 3\) и используем условие прохождения через точку \((-2;-5)\) для определения константы.

1. Общий вид первообразной \(F(x)\) находится интегрированием \(f(x)\): \(F(x) = \int (2x^2 + 3) dx = \frac{2x^3}{3} + 3x + C\), где \(C\) — константа интегрирования.
2. Используем условие, что график функции проходит через точку \((-2;-5)\), то есть \(F(-2) = -5\).
3. Подставим \(x = -2\) в выражение для \(F(x)\): \(F(-2) = \frac{2(-2)^3}{3} + 3(-2) + C = \frac{2(-8)}{3} - 6 + C = -\frac{16}{3} - 6 + C\).
4. Приравняем полученное значение к -5: \(-\frac{16}{3} - 6 + C = -5\).
5. Решим уравнение относительно \(C\): \(C = -5 + 6 + \frac{16}{3} = 1 + \frac{16}{3} = \frac{3}{3} + \frac{16}{3} = \frac{19}{3}\).
6. Таким образом, искомая первообразная имеет вид: \(F(x) = \frac{2x^3}{3} + 3x + \frac{19}{3}\).

Ответ: \( F(x) = \frac{2x^3}{3} + 3x + \frac{19}{3} \).