9. Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания 6 см, а боковое ребра равно 9 см.

Решение:

Объём правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\), где \(S_{осн}\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды.

1. Находим площадь основания: Основание — квадрат со стороной \(a = 6\) см. \(S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36\) см².
2. Находим высоту пирамиды: Чтобы найти высоту, нужно провести апофему (высоту боковой грани) или использовать боковое ребро. Воспользуемся боковым ребром. В основании пирамиды проведём диагональ \(d\). \(d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\) см. Половина диагонали равна \(\frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) см. Эта половина диагонали, высота пирамиды \(h\) и боковое ребро \(l=9\) образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \(h^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2\) \(h^2 + (3\sqrt{2})^2 = 9^2\) \(h^2 + (9 \cdot 2) = 81\) \(h^2 + 18 = 81\) \(h^2 = 81 - 18 = 63\) \(h = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}\) см.
3. Вычисляем объём: \(V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{7} = 12 \cdot 3\sqrt{7} = 36\sqrt{7}\) см³.

Ответ: \( 36\sqrt{7} \) см³.