8. Решить систему уравнений: \(\begin{cases} \sqrt{x+y-3} = 1 \\ \sqrt{3x-2y+1} = 2 \end{cases}\)

Решение:

Решим систему уравнений, возведя оба уравнения в квадрат.

1. Возведём в квадрат первое уравнение: \((\sqrt{x+y-3})^2 = 1^2 \implies x+y-3 = 1 \implies x+y = 4\).
2. Возведём в квадрат второе уравнение: \((\sqrt{3x-2y+1})^2 = 2^2 \implies 3x-2y+1 = 4 \implies 3x-2y = 3\).
3. Получили новую систему линейных уравнений: \(\begin{cases} x+y = 4 \\ 3x-2y = 3 \end{cases}\).
4. Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = 4-x\).
5. Подставим \(y\) во второе уравнение: \(3x - 2(4-x) = 3 \implies 3x - 8 + 2x = 3 \implies 5x = 11 \implies x = \frac{11}{5}\).
6. Найдем \(y\) подставив \(x=\frac{11}{5}\) в \(y = 4-x\): \(y = 4 - \frac{11}{5} = \frac{20}{5} - \frac{11}{5} = \frac{9}{5}\).
7. Проверим, удовлетворяют ли найденные значения \(x=\frac{11}{5}\) и \(y=\frac{9}{5}\) условиям подкоренных выражений (они должны быть неотрицательны).
8. Для первого уравнения: \(x+y-3 = \frac{11}{5} + \frac{9}{5} - 3 = \frac{20}{5} - 3 = 4 - 3 = 1 \ge 0\).
9. Для второго уравнения: \(3x-2y+1 = 3(\frac{11}{5}) - 2(\frac{9}{5}) + 1 = \frac{33}{5} - \frac{18}{5} + 1 = \frac{15}{5} + 1 = 3 + 1 = 4 \ge 0\).
10. Оба условия выполнены.

Ответ: \( x = \frac{11}{5}, y = \frac{9}{5} \).