2). Решите неравенство: а). (x+7)(x-1)(x+8)<0; б). \( \frac{(x+2)(x-3)(x-4)}{(x-2)} \ge 0 \)

Решение:

а) \( (x+7)(x-1)(x+8) < 0 \)

1. Найдем корни числителя: \( x = -7, x = 1, x = -8 \).
2. Расположим корни на числовой оси: \( -8, -7, 1 \).
3. Определим знаки интервалов методом пробной точки:
• \( x < -8 \): \( (-)(-)(-) = - < 0 \) (подходит)
• \( -8 < x < -7 \): \( (-)(-)(+) = + > 0 \)
• \( -7 < x < 1 \): \( (-)(+)(+) = - < 0 \) (подходит)
• \( x > 1 \): \( (+)(+)(+) = + > 0 \)

б) \( \frac{(x+2)(x-3)(x-4)}{(x-2)} \ge 0 \)

1. Найдем корни числителя: \( x = -2, x = 3, x = 4 \).
2. Найдем корень знаменателя: \( x = 2 \).
3. Расположим корни на числовой оси: \( -2, 2, 3, 4 \). Отметим, что \( x \neq 2 \).
4. Определим знаки интервалов методом пробной точки:
• \( x < -2 \): \( \frac{(-)(-)(-)}{(-)} = \frac{-}{-} = + \ge 0 \) (подходит)
• \( -2 < x < 2 \): \( \frac{(+)(-)(-)}{(-)} = \frac{+}{-} = - \le 0 \)
• \( 2 < x < 3 \): \( \frac{(+)(-)(-)}{(+)} = \frac{+}{+} = + \ge 0 \) (подходит)
• \( 3 \le x \le 4 \): \( \frac{(+)(+)(-)}{(+)} = \frac{-}{+} = - \le 0 \)
• \( x > 4 \): \( \frac{(+)(+)(+)}{(+)} = \frac{+}{+} = + \ge 0 \) (подходит)

Ответ: а) \( x \in (-\infty; -8) \cup (-7; 1) \); б) \( x \in (-\infty; -2] \cup (2; 3] \cup [4; +\infty) \).