2). Решите неравенство: в). $ (x+4)|x-1| + x+6)^2 > 0 $; г). $ \frac{x^2-3x-4}{x+1|x-3|} \ge 0 $

Question

Вопрос: $Фото задания: 2). Решите неравенство: в). $ (x+4)|x-1| + x+6)^2 > 0 $; г). $ \frac{x^2-3x-4}{x+1|x-3|} \ge 0 $$ Фото задания

Accepted Answer

в) $ (x+4)|x-1| + (x+6)^2 > 0 $

Это неравенство с модулем и квадратом. Рассмотрим два случая для $ |x-1| $:

Случай 1: $ x \ge 1 $. Тогда $ |x-1| = x-1 $. Неравенство примет вид: $ (x+4)(x-1) + (x+6)^2 > 0 $ → $ x^2 - x + 4x - 4 + x^2 + 12x + 36 > 0 $ → $ 2x^2 + 15x + 32 > 0 $. Дискриминант этого квадратного трёхчлена $ D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 32 = 225 - 256 = -31 < 0 $. Так как коэффициент при $ x^2 $ положительный (2 > 0), то $ 2x^2 + 15x + 32 > 0 $ для всех $ x $. Учитывая условие $ x \ge 1 $, получаем $ x \ge 1 $.
Случай 2: $ x < 1 $. Тогда $ |x-1| = -(x-1) = 1-x $. Неравенство примет вид: $ (x+4)(1-x) + (x+6)^2 > 0 $ → $ x - x^2 + 4 - 4x + x^2 + 12x + 36 > 0 $ → $ 9x + 40 > 0 $ → $ 9x > -40 $ → $ x > -\frac{40}{9} $. Учитывая условие $ x < 1 $, получаем $ -\frac{40}{9} < x < 1 $.

Объединяем решения обоих случаев: $ x \in (-\frac{40}{9}; 1) \cup [1; \infty) $, что равно $ x \in (-\frac{40}{9}; \infty) $.

г) $ \frac{x^2-3x-4}{x+1|x-3|} \ge 0 $

Разложим числитель на множители: $ x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1) $.
Исходное неравенство: $ \frac{(x-4)(x+1)}{x+1|x-3|} \ge 0 $.
Сокращаем $ (x+1) $, при условии $ x \neq -1 $. Получаем: $ \frac{x-4}{|x-3|} \ge 0 $.
Знаменатель $ |x-3| $ всегда положителен при $ x \neq 3 $. Следовательно, неравенство сводится к $ x-4 \ge 0 $ при $ x \neq -1 $ и $ x \neq 3 $.
Решаем $ x-4 \ge 0 $ → $ x \ge 4 $.
Учитываем условия $ x \neq -1 $ и $ x \neq 3 $. Так как $ x \ge 4 $, эти условия выполняются автоматически.

Ответ: в) $ x \in (-\frac{40}{9}; \infty) $; г) $ x \in [4; \infty) $.

2). Решите неравенство: в). \( (x+4)|x-1| + x+6)^2 > 0 \); г). \( \frac{x^2-3x-4}{x+1|x-3|} \ge 0 \)