2. Решите уравнение: а) \(\sqrt{5x – 4} = x\); б) \(\sqrt[3]{x + 2} = 4\).

Задание 2. Решите уравнение

а) \(\sqrt{5x – 4} = x\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ (\sqrt{5x - 4})^2 = x^2 \]

\[ 5x - 4 = x^2 \]

2. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета:

Сумма корней \( x_1 + x_2 = 5 \)

Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = 4 \)

Легко подобрать корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 4 \).

4. Проверим найденные корни в исходном уравнении. Важно помнить, что под корнем не может быть отрицательного числа, а результат извлечения квадратного корня (правая часть уравнения) не может быть отрицательным.
• При \( x = 1 \): \( \sqrt{5 \cdot 1 - 4} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1 \). \( x = 1 \). Условие \( \sqrt{5x-4} = x \) выполняется: \( 1 = 1 \).
• При \( x = 4 \): \( \sqrt{5 \cdot 4 - 4} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4 \). \( x = 4 \). Условие \( \sqrt{5x-4} = x \) выполняется: \( 4 = 4 \).

Ответ: x = 1, x = 4

б) \(\sqrt[3]{x + 2} = 4\)

1. Возведём обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корня:

\[ (\sqrt[3]{x + 2})^3 = 4^3 \]

\[ x + 2 = 64 \]

2. Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

\[ x = 64 - 2 \]

\[ x = 62 \]

3. Проверим корень: \( \sqrt[3]{62 + 2} = \sqrt[3]{64} = 4 \). Условие \( \sqrt[3]{x+2} = 4 \) выполняется: \( 4 = 4 \).

Ответ: x = 62