6. Решить уравнение: cos²x - cos x - 2 = 0.

Задание 6. Решить уравнение

У нас есть уравнение: \( \cos^2 x - \cos x - 2 = 0 \).

1. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 2 = 0 \]

2. Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

3. Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

4. Теперь вернёмся к замене \( y = \cos x \).
• Случай 1: \( \cos x = 2 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса всегда находится в пределах от -1 до 1 (\( -1 \le \cos x \le 1 \)).
• Случай 2: \( \cos x = -1 \). Это уравнение имеет решения. Косинус равен -1 в точках \( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)