Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Решить неравенство методом интервалов: а) \(\frac{(3-x)(x-4)}{(x-9)} \ge 0\); б) \((x - 4)^2(6-x)(x + 3) < 0\).Фото задания

Ответ:

Задание 3. Решить неравенство методом интервалов

а) \(\frac{(3-x)(x-4)}{(x-9)} \ge 0\)

  1. Найдем корни числителя и знаменателя.
    • Числитель: \( (3-x)(x-4) = 0 \) => \( x = 3 \) или \( x = 4 \).
    • Знаменатель: \( x-9 = 0 \) => \( x = 9 \). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \ne 9 \).
  2. Отметим найденные точки на числовой оси: 3, 4, 9. Эти точки разбивают числовую ось на 4 интервала: \((-\infty; 3]\), \([3; 4]\), \([4; 9)\), \((9; \infty)\). Обратите внимание, что точки 3 и 4 включаются в решение, а 9 — нет.
  3. Определим знак выражения \(\frac{(3-x)(x-4)}{(x-9)}\) на каждом интервале. Можно взять пробную точку из каждого интервала:
    • Интервал \((-\infty; 3]\): Возьмём \( x = 0 \). \(\frac{(3-0)(0-4)}{(0-9)} = \frac{(3)(-4)}{(-9)} = \frac{-12}{-9} = \frac{4}{3} > 0 \). Ставим знак «+».
    • Интервал \([3; 4]\): Возьмём \( x = 3.5 \). \(\frac{(3-3.5)(3.5-4)}{(3.5-9)} = \frac{(-0.5)(-0.5)}{(-5.5)} = \frac{0.25}{-5.5} < 0 \). Ставим знак «-».
    • Интервал \([4; 9)\): Возьмём \( x = 5 \). \(\frac{(3-5)(5-4)}{(5-9)} = \frac{(-2)(1)}{(-4)} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} > 0 \). Ставим знак «+».
    • Интервал \((9; \infty)\): Возьмём \( x = 10 \). \(\frac{(3-10)(10-4)}{(10-9)} = \frac{(-7)(6)}{(1)} = -42 < 0 \). Ставим знак «-».
  4. Нам нужно \(\ge 0\), то есть интервалы со знаком «+».

Ответ: \([3; 4] \cup (9; \infty)\)

б) \((x - 4)^2(6-x)(x + 3) < 0\)

  1. Найдем корни числителя и знаменателя.
    • Числитель: \( (x-4)^2(6-x)(x+3) = 0 \) => \( x = 4 \) (корень кратности 2), \( x = 6 \), \( x = -3 \).
    • Знаменатель: Нет.
  2. Отметим найденные точки на числовой оси: -3, 4, 6.
  3. Определим знак выражения \((x - 4)^2(6-x)(x + 3)\) на каждом интервале.
    • Интервал \((-\infty; -3)\): Возьмём \( x = -4 \). \(((-4)-4)^2(6-(-4))((-4)+3) = (-8)^2(10)(-1) = (64)(10)(-1) = -640 < 0 \). Ставим знак «-».
    • Интервал \((-3; 4)\): Возьмём \( x = 0 \). \((0-4)^2(6-0)(0+3) = (-4)^2(6)(3) = (16)(6)(3) = 288 > 0 \). Ставим знак «+».
    • Интервал \((4; 6)\): Возьмём \( x = 5 \). \((5-4)^2(6-5)(5+3) = (1)^2(1)(8) = 1 \cdot 1 \cdot 8 = 8 > 0 \). Ставим знак «+».
    • Интервал \((6; \infty)\): Возьмём \( x = 7 \). \((7-4)^2(6-7)(7+3) = (3)^2(-1)(10) = (9)(-1)(10) = -90 < 0 \). Ставим знак «-».
  4. Нам нужно \(< 0\), то есть интервалы со знаком «-».
  5. Обратите внимание, что корень \( x = 4 \) имеет кратность 2, поэтому знак на интервалах, где он является границей, не меняется.

Ответ: \((-\infty; -3) \cup (6; \infty)\)