Контрольные задания
Вопрос:

2. Решите уравнения: A) \(\sqrt{x^2 + x + 4} = 4 Б) 27^{1-2x} = \left\(\frac{1}{81}\right\)^x B) \(\text{log}\)_2 (6x + 1) = \(\text{log}\)_2 3 + 1 Г) 2\(\text{sin}\) 3x = \(\sqrt{3}\)

Фото задания: 2. Решите уравнения: A) \(\sqrt{x^2 + x + 4} = 4 Б) 27^{1-2x} = \left\(\frac{1}{81}\right\)^x B) \(\text{log}\)_2 (6x + 1)…Фото задания

Ответ:

Решение:

А) \(\sqrt{x^2 + x + 4} = 4\)

  1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x^2 + x + 4 = 16 \)
  2. Перенесём всё в одну сторону: \( x^2 + x - 12 = 0 \)
  3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \). \( \sqrt{D} = 7 \).
  4. Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \).
  5. Проверим оба корня, подставив их в исходное уравнение. Оба корня подходят.

Ответ: x = 3, x = -4

Б) \(27^{1-2x} = \left(\frac{1}{81}\right)^x\)

  1. Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 3: \( (3^3)^{1-2x} = (3^{-4})^x \)
  2. Упростим: \( 3^{3(1-2x)} = 3^{-4x} \)
  3. Приравняем показатели степеней: \( 3 - 6x = -4x \)
  4. Решим полученное линейное уравнение: \( 3 = 2x \), \( x = \frac{3}{2} \).

Ответ: x = 1,5

В) \(\text{log}_2 (6x + 1) = \text{log}_2 3 + 1\)

  1. Представим 1 как \(\text{log}_2 2\): \(\text{log}_2 (6x + 1) = \text{log}_2 3 + \text{log}_2 2\)
  2. Используем свойство логарифма \(\text{log}_a b + \text{log}_a c = \text{log}_a (bc)\): \(\text{log}_2 (6x + 1) = \text{log}_2 (3 \cdot 2) \)
  3. \(\text{log}_2 (6x + 1) = \text{log}_2 6\)
  4. Приравняем аргументы логарифмов: \( 6x + 1 = 6 \)
  5. Решим полученное линейное уравнение: \( 6x = 5 \), \( x = \frac{5}{6} \).
  6. Проверим ОДЗ: \( 6x + 1 > 0 \), \( 6 \cdot \frac{5}{6} + 1 = 5 + 1 = 6 > 0 \).

Ответ: x = 5/6

Г) \(2\text{sin} 3x = \sqrt{3}\)

  1. Выделим \(\text{sin} 3x\): \(\text{sin} 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  2. Найдём частные решения. \( 3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) или \( 3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
  3. Разделим на 3, чтобы найти \( x \): \( x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \) или \( x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \) или \( x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \), \( n \in \mathbb{Z} \).