3. Решите неравенства: A) 1000^1+2x < 0,1 Б) log₂(2x + 1) > - 4

Решение:

А) \(1000^{1+2x} < 0,1\)

1. Запишем обе части неравенства в виде степеней с основанием 10: \( 10^{3(1+2x)} < 10^{-1} \)
2. \( 10^{3+6x} < 10^{-1} \)
3. Так как основание степени \( 10 > 1 \), приравниваем показатели: \( 3 + 6x < -1 \)
4. Решаем линейное неравенство: \( 6x < -4 \), \( x < -\frac{4}{6} \), \( x < -\frac{2}{3} \).

Ответ: \( x < -\frac{2}{3} \)

Б) \(\text{log}_2(2x + 1) > - 4\)

1. Учтём ОДЗ: \( 2x + 1 > 0 \) \(\implies\) \( 2x > -1 \) \(\implies\) \( x > -0,5 \).
2. Представим \(-4\) как логарифм по основанию 2: \(-4 = \text{log}_2 (2^{-4}) = \text{log}_2 \left(\frac{1}{16}\right) \).
3. Неравенство принимает вид: \(\text{log}_2(2x + 1) > \text{log}_2 \left(\frac{1}{16}\right) \).
4. Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), приравниваем аргументы: \( 2x + 1 > \frac{1}{16} \).
5. Решаем линейное неравенство: \( 2x > \frac{1}{16} - 1 \) \(\implies\) \( 2x > -\frac{15}{16} \) \(\implies\) \( x > -\frac{15}{32} \).
6. Объединяем решение с ОДЗ: \( x > -0,5 \) и \( x > -\frac{15}{32} \). Так как \(-0,5 = -\frac{16}{32} < -\frac{15}{32} \), то \( x > -\frac{15}{32} \) является более строгим условием.

Ответ: \( x > -\frac{15}{32} \)