8. Осевое сечение цилиндра квадрат, диагональ которого равна 10√2 см. Найдите объём цилиндра и площадь сечения.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через его ось. По условию, это сечение — квадрат.

Пусть сторона квадрата равна \( a \). Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \).

По условию \( d = 10\sqrt{2} \) см.

1. Найдём сторону квадрата: \( a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) \(\implies\) \( a = 10 \) см.
2. Сторона квадрата равна высоте цилиндра \( h \) и диаметру основания цилиндра \( D \).
   Значит, \( h = 10 \) см и \( D = 10 \) см.
3. Найдем радиус основания цилиндра: \( r = \frac{D}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.
4. Вычислим объём цилиндра по формуле \( V = \pi r^2 h \):
   \( V = \pi (5)^2 (10) = \pi (25)(10) = 250\pi \) куб. см.
5. Площадь сечения (площадь квадрата) равна \( S = a^2 \):
   \( S = (10)^2 = 100 \) кв. см.

Ответ: Объём цилиндра \( 250\pi \) куб. см, площадь сечения \( 100 \) кв. см.