7. Найдите точки экстремума и промежутки монотонности функции f(x) = - x⁵ + 5x⁴ - 8.

Решение:

Для нахождения точек экстремума и промежутков монотонности найдём первую производную функции.

1. Найдём производную функции \( f'(x) \):
   \( f'(x) = ( - x^5 + 5x^4 - 8 )' \)
   \( f'(x) = -5x^4 + 20x^3 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -5x^4 + 20x^3 = 0 \)
   \( -5x^3 (x - 4) = 0 \)
   Отсюда \( x^3 = 0 \) или \( x - 4 = 0 \).
   Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 4 \).
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

Точка \( x = 0 \) — точка минимума (производная меняет знак с минуса на плюс).
Точка \( x = 4 \) — точка максимума (производная меняет знак с плюса на минус).

Найдем значения функции в точках экстремума:

• \( f(0) = -(0)^5 + 5(0)^4 - 8 = -8 \)
• \( f(4) = -(4)^5 + 5(4)^4 - 8 = -1024 + 5(256) - 8 = -1024 + 1280 - 8 = 248 \)

Ответ: Минимум в точке \( x = 0 \) (значение \( f(0) = -8 \)), максимум в точке \( x = 4 \) (значение \( f(4) = 248 \)). Функция убывает на \( (-\infty; 0) \) и \( (4; +\infty) \), возрастает на \( (0; 4) \).