2. Собственная длина ракеты составляет 50 м. С какой скоростью она должна двигаться относительно Земли, чтобы наблюдатели на Земле измерили её длину равной 30 м?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сокращения длины (релятивистский эффект):

\( L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

Где:

• \( L \) — длина, измеренная внешним наблюдателем (на Земле).
• \( L_0 \) — собственная длина (длина ракеты в её системе отсчёта).
• \( v \) — скорость ракеты относительно Земли.
• \( c \) — скорость света.

Нам дано:

• \( L_0 = 50 \) м
• \( L = 30 \) м

Подставим значения в формулу:

\( 30 = 50 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

Разделим обе части на 50:

\( \frac{30}{50} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

\( 0,6 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

Возведём обе части в квадрат:

\( (0,6)^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2} \)

\( 0,36 = 1 - \frac{v^2}{c^2} \)

Выразим \( \frac{v^2}{c^2} \):

\( \frac{v^2}{c^2} = 1 - 0,36 \)

\( \frac{v^2}{c^2} = 0,64 \)

Теперь найдём \( v \):

\( v^2 = 0,64 c^2 \)

\( v = \sqrt{0,64 c^2} = 0,8 c \)

Ответ: 0,8с.