5. Время жизни мюона в системе отсчёта, связанной с ним, равно 2,2 мкс. С какой скоростью должен двигаться мюон относительно Земли, чтобы до распада пролететь 10 км (с точки зрения земного наблюдателя)?

Решение:

Эта задача включает два релятивистских эффекта: замедление времени и сокращение длины. Будем использовать оба подхода для проверки.

Подход 1: Через замедление времени

Дано:

• Собственное время жизни мюона \( \Delta t_0 = 2,2 \) мкс \( = 2,2 \times 10^{-6} \) с.
• Расстояние, которое пролетает мюон с точки зрения земного наблюдателя \( L = 10 \) км \( = 10^4 \) м.
• Нам нужно найти скорость \( v \).

С точки зрения земного наблюдателя, время жизни мюона \( \Delta t \) будет больше собственного времени из-за его движения:

\( \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

Расстояние, которое пролетит мюон с точки зрения земного наблюдателя, равно \( L = v \cdot \Delta t \).

Подставим выражение для \( \Delta t \) в формулу расстояния:

\( L = v \cdot \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

Подставим известные значения:

\( 10^4 \text{ м} = v \cdot \frac{2,2 \times 10^{-6} \text{ с}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

Чтобы упростить, обозначим \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \). Тогда \( \Delta t = \gamma \Delta t_0 \) и \( L = v \gamma \Delta t_0 \).

\( \frac{L}{v \Delta t_0} = \gamma \)

\( \frac{10^4}{v \cdot 2,2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

Возведём обе части в квадрат:

\( \frac{(10^4)^2}{v^2 (2,2 \times 10^{-6})^2} = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

\( \frac{10^8}{v^2 (4,84 \times 10^{-12})} = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

\( \frac{10^8}{4,84 \times 10^{-12}} = v^2 (1 - \frac{v^2}{c^2}) \)

\( \frac{10^{20}}{4,84} = v^2 - \frac{v^4}{c^2} \)

\( \approx 2,066 \times 10^{19} = v^2 - \frac{v^4}{c^2} \)

Это биквадратное уравнение относительно \( v \). Давайте попробуем другой подход.

Подход 2: Через сокращение длины

С точки зрения земного наблюдателя, мюон должен пролететь 10 км. В системе отсчёта мюона, оно живёт \( 2,2 \times 10^{-6} \) с. За это время оно должно преодолеть расстояние \( L_0 \), которое для земного наблюдателя выглядит как \( L = 10 \) км.

Сокращение длины: \( L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \).

В системе отсчёта мюона, оно живёт \( \Delta t_0 \) и пролетает расстояние \( L_0 = v \cdot \Delta t_0 \).

Подставим \( L_0 \) в формулу сокращения длины:

\( L = (v \cdot \Delta t_0) \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

Подставим известные значения:

\( 10^4 \text{ м} = v \cdot (2,2 \times 10^{-6} \text{ с}) \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

Выразим \( v \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \):

\( v \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{10^4}{2,2 \times 10^{-6}} = \frac{10^{10}}{2,2} \approx 4,545 \times 10^9 \text{ м/с} \)

Возведём обе части в квадрат:

\( v^2 (1 - \frac{v^2}{c^2}) = (4,545 \times 10^9)^2 \approx 2,066 \times 10^{19} \text{ м}^2/\text{с}^2 \)

\( v^2 - \frac{v^4}{c^2} \approx 2,066 \times 10^{19} \)

Это то же самое уравнение, что и в первом подходе. Решим его относительно \( \frac{v}{c} \). Пусть \( \beta = \frac{v}{c} \) и \( \beta^2 = x \).

\( (\beta c)^2 - \frac{(\beta c)^4}{c^2} = 2,066 \times 10^{19} \)

\( \beta^2 c^2 - \frac{\beta^4 c^4}{c^2} = 2,066 \times 10^{19} \)

\( c^2 \beta^2 - c^2 \beta^4 = 2,066 \times 10^{19} \)

\( c^2 (\beta^2 - \beta^4) = 2,066 \times 10^{19} \)

\( c \approx 3 \times 10^8 \) м/с, \( c^2 \approx 9 \times 10^{16} \) м²/с²

\( 9 \times 10^{16} (\beta^2 - \beta^4) = 2,066 \times 10^{19} \)

\( \beta^2 - \beta^4 = \frac{2,066 \times 10^{19}}{9 \times 10^{16}} \approx \frac{2066}{9} \approx 229,56 \)

Уравнение \( \beta^2 - \beta^4 = 229,56 \) не имеет действительных решений для \( \beta \), так как \( \beta \) не может быть больше 1.

Давайте перепроверим условия задачи или формулы.

Возможно, я неправильно интерпретировал условие или сделал ошибку в расчётах.

Вернёмся к \( L = v \cdot \Delta t \) и \( \Delta t = \gamma \Delta t_0 \).

\( L = v \gamma \Delta t_0 \) → \( \frac{L}{\Delta t_0} = v \gamma = v \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

\( \frac{10^4}{2,2 \times 10^{-6}} = v \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

\( 4,545 \times 10^9 = v \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

Теперь давайте выразим \( v \) через \( \gamma \): \( v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \).

\( 4,545 \times 10^9 = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \gamma = c \frac{\sqrt{\gamma^2 - 1}}{\gamma} \gamma = c \sqrt{\gamma^2 - 1} \)

\( \frac{4,545 \times 10^9}{c} = \sqrt{\gamma^2 - 1} \)

\( \frac{4,545 \times 10^9}{3 \times 10^8} = \sqrt{\gamma^2 - 1} \)

\( 15,15 = \sqrt{\gamma^2 - 1} \)

Возведём в квадрат:

\( 15,15^2 = \gamma^2 - 1 \)

\( 229,52 = \gamma^2 - 1 \)

\( \gamma^2 = 230,52 \)

\( \gamma = \sqrt{230,52} \approx 15,18 \)

Теперь найдём \( v \) из \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \).

\( \gamma^2 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

\( 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2} \)

\( \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2} \)

\( v^2 = c^2 (1 - \frac{1}{\gamma^2}) \)

\( v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \)

\( v = 3 \times 10^8 \text{ м/с} \sqrt{1 - \frac{1}{230,52}} \)

\( v = 3 \times 10^8 \text{ м/с} \sqrt{1 - 0,00434} \)

\( v = 3 \times 10^8 \text{ м/с} \sqrt{0,99566} \)

\( v = 3 \times 10^8 \text{ м/с} \times 0,9978 \approx 2,9934 \times 10^8 \text{ м/с} \)

\( \frac{v}{c} \approx \frac{2,9934 \times 10^8}{3 \times 10^8} \approx 0,9978 \)

Ответ: примерно 0,9978с.