2. Составить уравнение касательной к графику функции y = 3x³ + 5x + 1, в точке x = 2

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 2 \):
   \( y_0 = f(2) = 3(2)^3 + 5(2) + 1 = 3(8) + 10 + 1 = 24 + 10 + 1 = 35 \).
2. Найдем производную функции: \( y' = (3x^3 + 5x + 1)' = 9x^2 + 5 \).
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 2 \):
   \( f'(2) = 9(2)^2 + 5 = 9(4) + 5 = 36 + 5 = 41 \).
4. Составим уравнение касательной:
   \( y - 35 = 41(x - 2) \)
   \( y - 35 = 41x - 82 \)
   \( y = 41x - 82 + 35 \)
   \( y = 41x - 47 \).

Ответ: \( y = 41x - 47 \).