5. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1,5,7см. Найти диагональ параллелепипеда, площадь боковой и полной поверхности и объём параллелепипеда.

Решение:

Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда равны \( a = 1 \) см, \( b = 5 \) см, \( c = 7 \) см.

1. Диагональ параллелепипеда (d)

Диагональ находится по формуле: \( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \).

\( d = \sqrt{1^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 25 + 49} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) см.

2. Объём параллелепипеда (V)

Объём находится по формуле: \( V = a \cdot b \cdot c \).

\( V = 1 \cdot 5 \cdot 7 = 35 \) см³.

3. Площадь боковой поверхности (S_бок)

Боковая поверхность состоит из четырёх граней. Площадь боковой поверхности равна удвоенной сумме площадей двух пар противоположных граней.

\( S_{бок} = 2(ab + ac + bc) - 2(ab) \) (то есть, если мы хотим боковую поверхность, мы убираем две грани основания).

Площадь двух граней с основаниями \( ab \): \( 2 \cdot (1 \cdot 5) = 10 \) см².

Площадь двух граней с основаниями \( ac \): \( 2 \cdot (1 \cdot 7) = 14 \) см².

Площадь двух граней с основаниями \( bc \): \( 2 \cdot (5 \cdot 7) = 70 \) см².

Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 2(ab + ac + bc) = 2(5 + 7 + 35) = 2(47) = 94 \) см².

Для боковой поверхности, если мы считаем, что основаниями являются грани \( 1 \times 5 \), то:

\( S_{бок} = 2(ac + bc) = 2(1 \cdot 7 + 5 \cdot 7) = 2(7 + 35) = 2(42) = 84 \) см².

Если основаниями являются грани \( 5 \times 7 \), то:

\( S_{бок} = 2(ab + ac) = 2(1 \cdot 5 + 1 \cdot 7) = 2(5 + 7) = 2(12) = 24 \) см².

Если основаниями являются грани \( 1 \times 7 \), то:

\( S_{бок} = 2(ab + bc) = 2(1 \cdot 5 + 5 \cdot 7) = 2(5 + 35) = 2(40) = 80 \) см².

Обычно под боковой поверхностью понимают сумму площадей всех граней, кроме двух оснований. Если нет указания, какие грани являются основаниями, то можно принять, что основаниями являются грани с наибольшей площадью, тогда боковая поверхность будет наименьшей.

Примем, что основаниями являются грани \( 5 \times 7 \).

\( S_{бок} = 2(ab + ac) = 2(1 \cdot 5 + 1 \cdot 7) = 2(5 + 7) = 24 \) см².

4. Площадь полной поверхности (S_полн)

\( S_{полн} = 2(ab + ac + bc) \)

\( S_{полн} = 2(1 \cdot 5 + 1 \cdot 7 + 5 \cdot 7) = 2(5 + 7 + 35) = 2(47) = 94 \) см².

Ответ: Диагональ \( d = 5\sqrt{3} \) см; Объём \( V = 35 \) см³; Площадь полной поверхности \( S_{полн} = 94 \) см². Площадь боковой поверхности зависит от выбора оснований. Если основания \( 5 \times 7 \) см, то \( S_{бок} = 24 \) см².