4. Вычислить интеграл: а) \( \int_0^1 (2x^3 - 2x + 3)dx \) б) \( \int_1^3 (4x^3 + 6x^2 - 1)dx \)

Решение:

а) \( \int_0^1 (2x^3 - 2x + 3)dx \)

1. Найдем первообразную для функции \( 2x^3 - 2x + 3 \):
   \( F(x) = \int (2x^3 - 2x + 3)dx = 2\frac{x^4}{4} - 2\frac{x^2}{2} + 3x = \frac{1}{2}x^4 - x^2 + 3x \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \).
   \( \int_0^1 (2x^3 - 2x + 3)dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 - x^2 + 3x \right]_0^1 \)
3. \( = \left( \frac{1}{2}(1)^4 - (1)^2 + 3(1) \right) - \left( \frac{1}{2}(0)^4 - (0)^2 + 3(0) \right) \)
4. \( = \left( \frac{1}{2} - 1 + 3 \right) - (0) = \frac{1}{2} + 2 = 2.5 \).

б) \( \int_1^3 (4x^3 + 6x^2 - 1)dx \)

1. Найдем первообразную для функции \( 4x^3 + 6x^2 - 1 \):
   \( F(x) = \int (4x^3 + 6x^2 - 1)dx = 4\frac{x^4}{4} + 6\frac{x^3}{3} - x = x^4 + 2x^3 - x \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
   \( \int_1^3 (4x^3 + 6x^2 - 1)dx = \left[ x^4 + 2x^3 - x \right]_1^3 \)
3. \( = \left( (3)^4 + 2(3)^3 - 3 \right) - \left( (1)^4 + 2(1)^3 - 1 \right) \)
4. \( = \left( 81 + 2(27) - 3 \right) - \left( 1 + 2 - 1 \right) \)
5. \( = \left( 81 + 54 - 3 \right) - (2) = (135 - 3) - 2 = 132 - 2 = 130 \).

Ответ: а) 2,5; б) 130.