3. Найти общий вид первообразных для функции: а) f(x) = 3x⁵ + 2x + 1 б) f(x) = 2x³ - e³ˣ⁺¹ + sin 5x

Решение:

Чтобы найти первообразную, будем использовать основные интегралы:

• \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
• \( \int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C \)
• \( \int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C \)

а) f(x) = 3x⁵ + 2x + 1

Ищем первообразную \( F(x) = \int (3x^5 + 2x + 1)dx \).

\( F(x) = 3\int x^5 dx + 2\int x dx + \int 1 dx \)

\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C \)

\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^6}{6} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \)

\( F(x) = \frac{1}{2}x^6 + x^2 + x + C \).

б) f(x) = 2x³ - e³ˣ⁺¹ + sin 5x

Ищем первообразную \( F(x) = \int (2x^3 - e^{3x+1} + \sin 5x)dx \).

\( F(x) = 2\int x^3 dx - \int e^{3x+1} dx + \int \sin 5x dx \)

\( F(x) = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - \frac{1}{3}e^{3x+1} - \frac{1}{5}\cos 5x + C \)

\( F(x) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{1}{3}e^{3x+1} - \frac{1}{5}\cos 5x + C \)

\( F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{3}e^{3x+1} - \frac{1}{5}\cos 5x + C \).

Ответ: а) \( F(x) = \frac{1}{2}x^6 + x^2 + x + C \); б) \( F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{3}e^{3x+1} - \frac{1}{5}\cos 5x + C \).