2. Упростите: \( \frac{\sin\alpha + \cos\frac{\alpha}{2}}{1-\cos\alpha+\sin\frac{\alpha}{2}} \).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Применим формулы: \( \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} \) и \( 1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} \).
2. Шаг 2: Подставим в числитель: \( \sin\alpha + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = \cos\frac{\alpha}{2}\left(2\sin\frac{\alpha}{2} + 1\right) \).
3. Шаг 3: Подставим в знаменатель: \( 1 - \cos\alpha + \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}\left(2\sin\frac{\alpha}{2} + 1\right) \).
4. Шаг 4: Составим дробь и сократим: \( \frac{\cos\frac{\alpha}{2}\left(2\sin\frac{\alpha}{2} + 1\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}\left(2\sin\frac{\alpha}{2} + 1\right)} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} \).
5. Шаг 5: Получаем упрощенное выражение: \( \mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} \).

Ответ: \( \mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} \).