5. Решите уравнение: б) tgx - 2 ctgx = 1;

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Заменим \( \mathrm{ctg} x \) через \( \mathrm{tg} x \): \( \mathrm{tg} x - \frac{2}{\mathrm{tg} x} = 1 \).
2. Шаг 2: Введем замену: пусть \( t = \mathrm{tg} x \). Тогда уравнение примет вид: \( t - \frac{2}{t} = 1 \).
3. Шаг 3: Умножим обе части на \( t \), учитывая, что \( t
   eq 0 \) (т.е. \( x
   eq \frac{\pi}{2} + \pi n \)): \( t^2 - 2 = t \).
4. Шаг 4: Приведем к квадратному уравнению: \( t^2 - t - 2 = 0 \).
5. Шаг 5: Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). Корни: \( t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) и \( t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \).
6. Шаг 6: Вернемся к замене:
   а) \( \mathrm{tg} x = 2 \). Общее решение: \( x = \mathrm{arctg} 2 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   б) \( \mathrm{tg} x = -1 \). Общее решение: \( x = \mathrm{arctg}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \mathrm{arctg} 2 + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).