2. Упростите выражение: a) (1 - cos α)(1 + cos α) / sin α, α ≠ πn, n ∈ Z; б) sin (2π + α) + cos (π + α) + sin (-α) + cos(-α).

Решение:

1. а) Упрощение выражения с косинусом и синусом:

   Используем формулу разности квадратов: (a - b)(a + b) = a² - b².

   \[ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \]

   По основному тригонометрическому тождеству, \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\).

   \[ \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \sin \alpha \]

2. б) Упрощение тригонометрических функций:

   Используем свойства периодичности и четности/нечетности тригонометрических функций:

   • \(\sin (2\pi + \alpha) = \sin \alpha\) (периодичность синуса 2π)
   • \(\cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha\) (формула приведения)
   • \(\sin (-\alpha) = -\sin \alpha\) (нечетность синуса)
   • \(\cos (-\alpha) = \cos \alpha\) (четность косинуса)

   Суммируем упрощенные выражения:

   \[ \sin \alpha + (-\cos \alpha) + (-\sin \alpha) + \cos \alpha = \sin \alpha - \cos \alpha - \sin \alpha + \cos \alpha = 0 \]

Ответ:

а) sin α

б) 0