3. Вычислите: a) (sin α + cos α)² – 2 sin α cos α; б) tg α + ctg α, если sin α cos α = 0,4.

Решение:

1. а) Раскрытие скобок и упрощение:

   Раскроем квадрат суммы:

   \[ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \]

   Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

   \[ \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (2 \sin \alpha \cos \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha) = 1 + 0 = 1 \]

2. б) Вычисление суммы тангенса и котангенса:

   Нам дано \(\sin \alpha \cos \alpha = 0.4\).

   Вспомним формулы:

   • \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
   • \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)

   Тогда:

   \[ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \]

   Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) и данное значение \(\sin \alpha \cos \alpha = 0.4\):

   \[ \frac{1}{0.4} = \frac{1}{4/10} = \frac{10}{4} = 2.5 \]

Ответ:

а) 1

б) 2.5