6. Вычислите arcsin(√2/2) - arccos(0) + arctg(√3) / arctg(√3/3)

Решение:

Вычислим значения обратных тригонометрических функций:

• \(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}\) (так как \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\))
• \(\arccos(0) = \frac{\pi}{2}\) (так как \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\))
• \(\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\) (так как \(\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\))
• \(\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}\) (так как \(\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\))

Подставим найденные значения в выражение:

\[ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{6}} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{6}{\pi} = 2 \]

Теперь вычислим:

\[ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + 2 = \frac{\pi - 2\pi}{4} + 2 = -\frac{\pi}{4} + 2 = 2 - \frac{\pi}{4} \]

Ответ: 2 - π/4