5. Вычислите: a) tg² α + ctg²α, если tg α + ctg α = 3; б) (3 sin α - 4 cos α) / (5 sin α + 6 cos α), если tg α = -3.

Решение:

1. а) Вычисление tg² α + ctg²α:

   Дано: \(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = 3\).

   Возведем обе части уравнения в квадрат:

   \[ (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2 = 3^2 \]

   \[ \operatorname{tg}^2 \alpha + 2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha = 9 \]

   Так как \(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha = 1\), получаем:

   \[ \operatorname{tg}^2 \alpha + 2 \cdot 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = 9 \]

   \[ \operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha = 9 - 2 = 7 \]

2. б) Вычисление дробного выражения:

   Дано: \(\operatorname{tg} \alpha = -3\).

   Чтобы вычислить значение дроби, разделим числитель и знаменатель на \(\cos \alpha\) (предполагая, что \(\cos \alpha
   eq 0\). Если \(\cos \alpha = 0\), то \(\operatorname{tg} \alpha\) не определен, что противоречит условию).

   \[ \frac{3 \sin \alpha - 4 \cos \alpha}{5 \sin \alpha + 6 \cos \alpha} = \frac{\frac{3 \sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{4 \cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{5 \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{6 \cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{3 \operatorname{tg} \alpha - 4}{5 \operatorname{tg} \alpha + 6} \]

   Подставим \(\operatorname{tg} \alpha = -3\):

   \[ \frac{3 \cdot (-3) - 4}{5 \cdot (-3) + 6} = \frac{-9 - 4}{-15 + 6} = \frac{-13}{-9} = \frac{13}{9} \]

Ответ:

а) 7

б) 13/9