7. В прошлом году в городской думе заседали 50 депутатов от двух партий и 5 независимых депутатов. После выборов в этом году общее число депутатов не изменилось, но число депутатов первой партии увеличилось на 10%, число депутатов второй партии уменьшилось на 10%, число независимых депутатов увеличилось на 1. Сколько депутатов от каждой из этих партий избрано в городскую думу в этом году?

Решение:

Обозначим:

• \(x\) — количество депутатов первой партии в прошлом году.
• \(y\) — количество депутатов второй партии в прошлом году.
• \(z\) — количество независимых депутатов в прошлом году.

Из условия задачи известно:

• Общее число депутатов в прошлом году: \(x + y + z = 50 + 5 = 55\).
• \(z = 5\) (независимые депутаты в прошлом году).

Тогда \(x + y + 5 = 55\), следовательно, \(x + y = 50\).

Изменения после выборов:

• Число депутатов первой партии увеличилось на 10%: \(x' = x + 0.10x = 1.1x\).
• Число депутатов второй партии уменьшилось на 10%: \(y' = y - 0.10y = 0.9y\).
• Число независимых депутатов увеличилось на 1: \(z' = z + 1 = 5 + 1 = 6\).

Общее число депутатов в этом году осталось прежним: \(x' + y' + z' = 55\).

Подставим значения:

\[ 1.1x + 0.9y + 6 = 55 \]

\[ 1.1x + 0.9y = 49 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \(x + y = 50\)
2. \(1.1x + 0.9y = 49\)

Из первого уравнения выразим \(y = 50 - x\) и подставим во второе:

\[ 1.1x + 0.9(50 - x) = 49 \]

\[ 1.1x + 45 - 0.9x = 49 \]

\[ 0.2x = 49 - 45 \]

\[ 0.2x = 4 \]

\[ x = \frac{4}{0.2} = 20 \]

Теперь найдем \(y\):

\[ y = 50 - x = 50 - 20 = 30 \]

Теперь вычислим количество депутатов от каждой партии в этом году:

• Первая партия: \(x' = 1.1x = 1.1 \cdot 20 = 22\) депутата.
• Вторая партия: \(y' = 0.9y = 0.9 \cdot 30 = 27\) депутатов.
• Независимые: \(z' = 6\) депутатов.

Проверка: \(22 + 27 + 6 = 55\). Все верно.

Ответ:

В этом году избрано: 22 депутата от первой партии, 27 депутатов от второй партии и 6 независимых депутатов.