4. Найдите все такие углы α, для каждого из которых выполняется равенство: a) sin α = √3/2; б) cos α = -√2/2; в) tg α = √3; г) ctg α = -1.

Решение:

1. а) sin α = √3/2

   Основное значение арксинуса для √3/2 — это π/3 (60°).

   Так как синус положителен в I и II четвертях, то решения:

   \[ \alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]

   и

   \[ \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \]

   где \(n \in \mathbb{Z}\).

2. б) cos α = -√2/2

   Основное значение арккосинуса для √2/2 — это π/4 (45°). Так как косинус отрицателен во II и III четвертях:

   \[ \alpha = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \]

   и

   \[ \alpha = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \]

   где \(n \in \mathbb{Z}\).

3. в) tg α = √3

   Основное значение арктангенса для √3 — это π/3 (60°).

   Тангенс периодичен с периодом π, поэтому:

   \[ \alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n \]

   где \(n \in \mathbb{Z}\).

4. г) ctg α = -1

   Основное значение арккотангенса для 1 — это π/4 (45°). Так как котангенс отрицателен во II и IV четвертях:

   \[ \alpha = \operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4} \]

   Котангенс периодичен с периодом π, поэтому:

   \[ \alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n \]

   где \(n \in \mathbb{Z}\).

Ответ:

а) \(\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) и \(\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)

б) \(\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\) и \(\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)

в) \(\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)

г) \(\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)