2. В прямоугольном треугольнике ABC \(\angle C=90^\circ\), \(\angle A=30^\circ\), \(AC=10\) см, \(CD\perp AB\), \(DE\perp AC\). Найдите AE: а) 8 см; б) 6 см; в) 5 см; г) 7,5 см.

В треугольнике \(ACD\) угол \(A=30^\circ\), а \(\angle C=90^\circ\), поэтому это треугольник с углами \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\). Так как \(CD\perp AB\), то \(\angle ADC=60^\circ\). Следовательно, \(\angle ACD=90^\circ\).

Отрезок \(DE\) перпендикулярен \(AC\), поэтому \(DE\parallel BC\). Треугольники \(ADE\) и \(ABC\) подобны. Угол \(A\) у них общий, а \(\angle AED=90^\circ=\angle ACB\), значит соответствуют стороны \(AE\leftrightarrow AC\).

В исходном треугольнике \(ABC\) катет \(BC\), лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Поэтому \(AB=\frac{AC}{\cos30^\circ}=\frac{20}{\sqrt3}\). Из подобия и положения точки \(D\) получаем \(AE=AC\cos^2 30^\circ=10\cdot\frac34=7.5\) см.

Ответ: г) 7,5 см.