2. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{2x}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: \(\displaystyle…$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем числитель по формуле разности кубов, а знаменатель домножим на сопряжённое:

\[\sqrt[3]{x}-1=\frac{x-1}{x^{2/3}+x^{1/3}+1},\qquad \sqrt{1+x}-\sqrt{2x}=\frac{1-x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{2x}}.\]

Следовательно, при $x\ne1$:

\[\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{2x}}=-\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{2x}}{x^{2/3}+x^{1/3}+1}.\]

Подставляем $x=1$:

\[\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{2x}}=-\frac{2\sqrt2}{3}.\]

Ответ: $-\dfrac{2\sqrt2}{3}$.

2. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{2x}}\).