7. Определить характер функций (б. б., б. м.) \(f_1(x), f_2(x), f_3(x)\) в точке \(x_0\) и выделить главные части. а) \(f_1(x)=\arcsin 3x-\sin 4x,\quad x_0=0;\) б) \(f_2(x)=\dfrac{2x-1}{\ln(4+x)},\quad x_0=-3;\) в) \(f_3(x)=\dfrac{2x^2-3x^3+4\sqrt{x+5}}{x^2+4x},\quad x_0=\infty.\)

а) При \(x\to0\) функция стремится к нулю, то есть является бесконечно малой. Используем разложения \(\arcsin u=u+\frac{u^3}{6}+o(u^3)\) и \(\sin u=u-\frac{u^3}{6}+o(u^3)\):

\[f_1(x)=3x-4x+\frac{27x^3}{6}+\frac{64x^3}{6}+o(x^3)=-x+\frac{91}{6}x^3+o(x^3)\sim-x.\]

Главная часть — \(-x\).

б) Положим \(h=x+3\). Тогда \(2x-1=-7+2h\), а \(\ln(4+x)=\ln(1+h)\sim h\). Поэтому

\[f_2(x)\sim-\frac7{x+3},\qquad x\to-3.\]

Функция бесконечно большая по модулю: слева от \(-3\) она стремится к \(+\infty\), справа — к \(-\infty\). Главная часть — \(-\dfrac7{x+3}\).

в) При \(x\to\infty\) в числителе главный член равен \(-3x^3\), а в знаменателе — \(x^2\); член с корнем имеет меньший порядок. Следовательно,

\[f_3(x)\sim\frac{-3x^3}{x^2}=-3x.\]

Функция является бесконечно большой (стремится к \(-\infty\)); её главная часть — \(-3x\).