6. Определить порядок функций \(f_1(x)\) и \(f_2(x)\) относительно \(x\), предварительно установив, являются ли они в точке \(x_0\) бесконечно малыми или бесконечно большими. Сравнить функции \(f_1(x)\) и \(f_2(x)\). Выделить главные части. \(f_1(x)=x^2+6x,\quad f_2(x)=\ln(1+2 g x),\quad x_0=0.\)

При \(x\to0\) обе функции стремятся к нулю, то есть являются бесконечно малыми.

Для первой функции:

\[f_1(x)=x^2+6x=x(6+x)\sim6x.\]

Для второй используем \( g x\sim x\) и \(\ln(1+u)\sim u\) при \(u\to0\):

\[f_2(x)=\ln(1+2 g x)\sim2x.\]

Обе бесконечно малые имеют первый порядок относительно \(x\). Их главные части — \(6x\) и \(2x\). Сравнение:

\[\lim_{x\to0}\frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\frac{6}{2}=3.\]

Значит, функции одного порядка, но не эквивалентны; \(f_1(x)\sim3f_2(x)\).

Ответ: обе функции — бесконечно малые первого порядка; главные части \(6x\) и \(2x\), отношение стремится к \(3\).