5. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: \(\displaystyle \lim_{x\to0}\left(2-3^{(\arctg\sqrt{x})^2}\right)^{2/\sin x}\).

Из-за \(\sqrt{x}\) рассматривается предел при \(x\to0+\). Обозначим \(a(x)=(\arctg\sqrt{x})^2\). Так как \(\arctg t\sim t\) при \(t\to0\), то \(a(x)\sim x\). Кроме того, \(3^{a}=e^{a\ln3}=1+a\ln3+o(a)\). Поэтому основание степени имеет вид

\[2-3^{a(x)}=1-a(x)\ln3+o(a(x))=1-x\ln3+o(x).\]

Применяем стандартный предел для степени, стремящейся к единице:

\[\ln\left(2-3^{a(x)}\right)=-x\ln3+o(x),\qquad \frac{2}{\sin x}\sim\frac2x.\]

Следовательно, логарифм всего выражения стремится к \(-2\ln3\), и потому

\[\lim_{x\to0+}\left(2-3^{(\arctg\sqrt{x})^2}\right)^{2/\sin x}=e^{-2\ln3}=\frac19.\]

Ответ: \(\dfrac19\).