3. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos 2x}{\cos 7x-\cos 3x}\).

Применим тождества \(1-\cos 2x=2\sin^2x\) и \(\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\):

\[\frac{1-\cos 2x}{\cos 7x-\cos 3x}=\frac{2\sin^2x}{-2\sin5x\sin2x}.\]

Используем эквивалентность \(\sin(kx)\sim kx\) при \(x\to0\):

\[\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2x}{-2\sin5x\sin2x}=-\frac{2x^2}{20x^2}=-\frac1{10}.\]

Ответ: \(-\dfrac1{10}\).