4. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: $\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\ln(x^2-1)-\ln(x+1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: \(\displaystyle…$ Фото задания

Accepted Answer

В окрестности $x=2$ имеем $x^2-1=(x-1)(x+1)$, поэтому числитель равен $\ln(x-1)$. Положим $u=x-1$; тогда при $x\to2$ имеем $u\to1$.

По формуле разности кубов:

\[\frac{\ln(x-1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}=\frac{\ln u}{\sqrt[3]u-1}=\frac{\ln u\,(u^{2/3}+u^{1/3}+1)}{u-1}.\]

Используя стандартный предел $\displaystyle\lim_{u\to1}\frac{\ln u}{u-1}=1$, получаем:

\[\lim_{x\to2}\frac{\ln(x^2-1)-\ln(x+1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}=3.\]

Ответ: $3$.

4. Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя: \(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\ln(x^2-1)-\ln(x+1)}{\sqrt[3]{x-1}-1}\).