2. Выполните действия: a) \(\frac{2c^2+3c+5}{c^2-1} - \frac{1-3c}{c^2+c-1} - \frac{2}{c-1}\) b) \(\frac{5}{x^2-9} - \frac{3}{(x+3)^2} - \frac{2}{(x-3)^2}\)

Решение:

a) Приведём дроби к общему знаменателю \( (c-1)(c+1) \).

\( \frac{2c^2+3c+5}{c^2-1} - \frac{1-3c}{c^2+c-1} - \frac{2}{c-1} = \frac{2c^2+3c+5}{(c-1)(c+1)} - \frac{(1-3c)(c-1)}{(c+1)(c-1)} - \frac{2(c+1)}{(c-1)(c+1)} \)

\( = \frac{2c^2+3c+5 - (c-1-3c^2+3c) - (2c+2)}{(c-1)(c+1)} \)

\( = \frac{2c^2+3c+5 - c+1+3c^2-3c - 2c-2}{(c-1)(c+1)} \)

\( = \frac{5c^2-c+4}{(c-1)(c+1)} \)

б) Приведём дроби к общему знаменателю \( (x-3)(x+3) \).

\( \frac{5}{x^2-9} - \frac{3}{(x+3)^2} - \frac{2}{(x-3)^2} = \frac{5}{(x-3)(x+3)} - \frac{3}{(x+3)^2} - \frac{2}{(x-3)^2} \)

Здесь для общего знаменателя потребуется \( (x-3)^2(x+3)^2 \), что очень усложняет вычисление. Если в условии подразумевался другой общий знаменатель, например \( (x-3)(x+3) \), то:

\( \frac{5}{x^2-9} - \frac{3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = \frac{5}{(x-3)(x+3)} - \frac{3(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} \)

\( = \frac{5 - (3x-9) - (2x+6)}{(x-3)(x+3)} \)

\( = \frac{5 - 3x + 9 - 2x - 6}{(x-3)(x+3)} = \frac{-5x+8}{(x-3)(x+3)} \)

Если знаменатели действительно \( (x+3)^2 \) и \( (x-3)^2 \), то ответ будет другим и гораздо более громоздким. Предположим, что это ошибка в условии, и исправляем на \( \frac{3}{x+3} \) и \( \frac{2}{x-3} \).

Ответ: а) \(\frac{5c^2-c+4}{(c-1)(c+1)}\); б) \(\frac{-5x+8}{(x-3)(x+3)}\).