4. Найдите дробь, которую надо сложить с дробью \(\frac{2}{x+2}\), чтобы получить \(\frac{2x}{x^3+8}\).

Решение:

Пусть искомая дробь равна \( A \). Тогда:

\( A + \frac{2}{x+2} = \frac{2x}{x^3+8} \)

Найдём \( A \):

\( A = \frac{2x}{x^3+8} - \frac{2}{x+2} \)

Разложим знаменатель \( x^3+8 \) как сумму кубов: \( x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4) \).

Приведём дроби к общему знаменателю \( (x+2)(x^2-2x+4) \):

\( A = \frac{2x}{(x+2)(x^2-2x+4)} - \frac{2(x^2-2x+4)}{(x+2)(x^2-2x+4)} \)

\( A = \frac{2x - 2x^2 + 4x - 8}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{-2x^2+6x-8}{(x+2)(x^2-2x+4)} \)

\( A = \frac{-2(x^2-3x+4)}{(x+2)(x^2-2x+4)} \)

Ответ: \(\frac{-2(x^2-3x+4)}{x^3+8}\).