7. Докажите, что при данном условии значение выражения \(\frac{6a}{a^3-8} + \frac{a-2}{a^2+2a+4}\) является положительным числом при \(a > 2\).

Доказательство:

Приведём дроби к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби \( a^3-8 \) — это разность кубов, которая раскладывается как \( (a-2)(a^2+2a+4) \).

\( \frac{6a}{(a-2)(a^2+2a+4)} + \frac{a-2}{a^2+2a+4} \)

Общий знаменатель: \( (a-2)(a^2+2a+4) \). Преобразуем выражение:

\( \frac{6a}{(a-2)(a^2+2a+4)} + \frac{(a-2)(a-2)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{6a + (a-2)^2}{(a-2)(a^2+2a+4)} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( 6a + a^2 - 4a + 4 = a^2 + 2a + 4 \)

Таким образом, выражение принимает вид:

\( \frac{a^2+2a+4}{(a-2)(a^2+2a+4)} \)

Сократим дробь на \( a^2+2a+4 \) (так как \( a^2+2a+4 \) всегда больше нуля, его можно сокращать):

\( \frac{1}{a-2} \)

По условию, \( a > 2 \). Это означает, что \( a-2 > 0 \). Следовательно, дробь \( \frac{1}{a-2} \) будет положительной.

Доказано.