VI. Развиваем логическое мышление. Разложите на множители двучлен a⁴ + 4.

Решение:

Воспользуемся формулой суммы кубов, предварительно приведя двучлен к виду \( (a^2)^2 + 2^2 \). Добавим и вычтем \( 2 \cdot a^2 \cdot 2 = 4a^2 \), чтобы получить полный квадрат:

\( a^4 + 4 = a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2 \)

Сгруппируем первые три слагаемых, получив полный квадрат суммы:

\( (a^4 + 4a^2 + 4) - 4a^2 = (a^2+2)^2 - (2a)^2 \)

Теперь применим формулу разности квадратов \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \), где \( x = a^2+2 \) и \( y = 2a \).

\( (a^2+2)^2 - (2a)^2 = (a^2+2 - 2a)(a^2+2 + 2a) \)

Перепишем множители в стандартном виде:

\( (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2) \)

Ответ: \( (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2) \).