20. Медиана AM треугольника ABC равна отрезку BM. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.

Так как AM — медиана, точка M — середина BC, следовательно, BM = MC. По условию AM = BM, значит, AM = BM = MC.

Точка M равноудалена от A, B и C, поэтому лежит на окружности с центром M, проходящей через эти точки. При этом B, M и C лежат на одной прямой, а MB = MC, следовательно, BC — диаметр этой окружности. Угол, опирающийся на диаметр, прямой: ∠BAC = 90°.

По сумме углов треугольника ∠ABC + ∠ACB = 90°. Значит, ∠BAC = ∠ABC + ∠ACB.

Ответ: ∠BAC равен сумме углов ABC и ACB.