20. На готовом чертеже найдите величину угла BAC. Дано: AB = BC; точка M лежит на BC; ∠BMA = 60°; отмеченные дугами углы при A равны.

На рисунке ∠BMA = 60°, а отмеченные дугами углы при A — это ∠MAC и ∠CAB. Обозначим каждый из них через x.

Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠BAC = ∠ACB. Но ∠BAC = 2x, следовательно, ∠ACB = 2x.

В треугольнике ABM угол при B равен ∠ABC = 180° − 4x, поскольку угол A всего треугольника равен 2x, а угол C тоже 2x. С другой стороны, сумма углов ABM равна 180°: ∠ABM = 180° − 60° − ∠BAM, где ∠BAM = ∠BAC − ∠MAC = x. Получаем ∠ABM = 120° − x. Приравнивая, имеем 180° − 4x = 120° − x, откуда x = 20°.

Следовательно, ∠BAC = 2x = 40°.

Ответ: 40°.