20 Решите уравнение (x-1)(x^2+6x+9)=5(x+3).

Решение:

Исходное уравнение: \( (x-1)(x^2+6x+9) = 5(x+3) \).

Заметим, что \( x^2+6x+9 = (x+3)^2 \). Подставим это в уравнение:

\( (x-1)(x+3)^2 = 5(x+3) \)

Перенесём всё в левую часть:

\( (x-1)(x+3)^2 - 5(x+3) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x+3) \) за скобки:

\( (x+3)[(x-1)(x+3) - 5] = 0 \)

Раскроем скобки во второй части:

\( (x+3)[x^2 + 3x - x - 3 - 5] = 0 \)

\( (x+3)[x^2 + 2x - 8] = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: \( x+3 = 0 \) \( \Rightarrow x = -3 \).

Случай 2: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \). Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \).

Корни: \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 \pm 6}{2} \).

\( x_1 = \frac{-2+6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

\( x_2 = \frac{-2-6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).

Таким образом, уравнение имеет три корня: -3, 2, -4.

Ответ: -4, -3, 2