22 Постройте график функции y = { x^2 + 6x + 9, если x > -5; 20 x, если x < -5. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22 Постройте график функции y = { x^2 + 6x + 9, если x > -5; 20 x, если x < -5. Определите, при каких значениях m прямая y…$ Фото задания

22 Постройте график функции y = { x^2 + 6x + 9, если x > -5; 20 x, если x < -5. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Accepted Answer

Построение графика:

Функция задана кусочно. Рассмотрим каждый случай:

1. $ y = \frac{x^2 + 6x + 9}{20} $, если $ x > -5 $.

Заметим, что $ x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 $. Значит, $ y = \frac{(x+3)^2}{20} $. Это парабола с вершиной в точке $ (-3, 0) $.

Найдем значение функции в граничной точке $ x = -5 $: $ y = \frac{(-5+3)^2}{20} = \frac{(-2)^2}{20} = \frac{4}{20} = 0.2 $.

Точка $ (-5, 0.2) $ будет началом луча параболы (не включена).

2. $ y = x $, если $ x < -5 $.

Это прямая $ y = x $.

Найдем значение функции в граничной точке $ x = -5 $: $ y = -5 $.

Точка $ (-5, -5) $ будет началом луча прямой (не включена).

Построение графика:

Определение значений m:

Прямая $ y = m $ — это горизонтальная прямая. Ищем, при каких значениях $ m $ она пересекает построенный график.

Одна общая точка:

Вершина параболы: $ m = 0 $.
Точка, где функция переходит с параболы на прямую: $ m = 0.2 $ (не включая).
Точка, где функция переходит с прямой на параболу: $ m = -5 $ (не включая).

Две общие точки:

Для $ y = \frac{(x+3)^2}{20} $, при $ m > 0 $ и $ m \neq 0.2 $, прямая пересекает параболу в двух точках.
Для $ y = x $, при $ m < -5 $, прямая пересекает прямую в одной точке.

Нам нужны случаи, когда прямая $ y = m $ имеет с всем графиком одну или две общие точки.

Одна общая точка:

Если $ m = 0 $ (вершина параболы).
Если $ m = -5 $ (точка, откуда начинается луч прямой $ y = x $, но она не включена в график, поэтому не дает точки).
Если $ m = 0.2 $ (точка, откуда начинается луч параболы $ y = \frac{(x+3)^2}{20} $, но она не включена в график, поэтому не дает точки).

Две общие точки:

Если $ m > 0 $ и $ m \neq 0.2 $, то прямая $ y = m $ пересекает параболу в двух точках.
Если $ m < -5 $, то прямая $ y = m $ пересекает прямую $ y = x $ в одной точке.

Рассмотрим более внимательно, когда будет ровно одна или ровно две точки пересечения.

Одна общая точка:

$ m = 0 $ (вершина параболы).
$ m < -5 $ (эта часть графика состоит из одной прямой $ y=x $, которая пересекается с $ y=m $ в одной точке).

Две общие точки:

$ 0 < m < 0.2 $ (прямая $ y = m $ пересекает параболу в двух точках).
$ m > 0.2 $ (прямая $ y = m $ пересекает параболу в двух точках).

Рассмотрим граничные точки:

$ m = 0.2 $ — одна точка (на параболе).
$ m = -5 $ — одна точка (на прямой $ y=x $, если она включена).

Проверим внимательно по графику:

Одна общая точка:

$ m = 0 $ (вершина параболы).
$ m = -5 $ (точка, откуда начинается луч прямой, но сама точка не включена, поэтому одна точка, если $ m = -5 $ пересекает только прямую $ y=x $ ).

Две общие точки:

$ m ">" 0.2 $ (пересекает параболу дважды).
$ 0 < m < 0.2 $ (пересекает параболу дважды).
$ m < -5 $ (пересекает прямую $ y=x $ один раз).

Вернемся к условию: прямая $ y = m $ имеет с графиком одну или две общие точки.

Один точка:

$ m = 0 $ (вершина параболы).

Две точки:

$ m > 0.2 $ (пересекает параболу в двух точках).
$ 0 < m < 0.2 $ (пересекает параболу в двух точках).

Рассмотрим случай, когда $ m < -5 $. Прямая $ y = m $ пересечет луч $ y = x $ в одной точке.

Рассмотрим случай, когда $ m = -5 $. Прямая $ y = -5 $ не имеет общих точек с графиком.

Уточним условия для одной и двух точек:

Одна общая точка:

$ m=0 $ (вершина параболы).

Две общие точки:

$ m > 0.2 $ (парабола).
$ 0 < m < 0.2 $ (парабола).
$ m < -5 $ (прямая $ y=x $).

Итак, $ y = m $ имеет:

Одну общую точку, когда $ m = 0 $.
Две общие точки, когда $ m > 0.2 $ или $ 0 < m < 0.2 $ или $ m < -5 $.

Объединим условия: $ m ">" 0.2 $ или $ 0 \le m < 0.2 $ или $ m < -5 $.

Ответ: $ m \in (-\infty; -5) \cup [0; 0.2) \cup (0.2; \infty) $