20. Решите уравнение (x²-36)²+(x²+2x-48)²=0.

Задание 20. Решение уравнения

Уравнение: \( (x^2-36)^2 + (x^2+2x-48)^2 = 0 \)

Решение:

Сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если каждый из квадратов равен нулю.

Следовательно, мы должны решить систему из двух уравнений:

1. \[ x^2 - 36 = 0 \]
2. \[ x^2 + 2x - 48 = 0 \]

Решаем первое уравнение:

\[ x^2 = 36 \]

\[ x = \pm \sqrt{36} \]

\[ x_1 = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = -6 \]

Решаем второе уравнение (квадратное):

Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \]

Находим корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_3 = \frac{-2 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6 \]

\[ x_4 = \frac{-2 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Находим общее решение:

Нам нужен корень, который является решением обоих уравнений. Сравнивая корни \( (6, -6) \) и \( (6, -8) \), видим, что единственным общим корнем является \( x = 6 \).

Ответ: 6