20. Тип 20 № 311589 Решите уравнение: х³ = x² - 7х+7

Решение:

Перенесём все члены уравнения в левую часть:

\[ x^3 - x^2 + 7x - 7 = 0 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ (x^3 - x^2) + (7x - 7) = 0 \]

Вынесем общие множители из каждой группы:

\[ x^2(x - 1) + 7(x - 1) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x - 1) \):

\[ (x - 1)(x^2 + 7) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( x - 1 = 0 \) \(→\) \( x = 1 \)

2. \( x^2 + 7 = 0 \) \(→\) \( x^2 = -7 \)

Уравнение \( x^2 = -7 \) не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Следовательно, единственным действительным корнем уравнения является \( x = 1 \).

Ответ: 1