25. Тип 25 № 311708 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В, проведена биссектриса угла А. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведенный к стороне ВС в точке К. Найдите угол ВСК, если известно, что угол АСВ равен 40°.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — прямоугольный (\( \angle B = 90^{\circ} \)), \( AK \) — биссектриса \( \angle BAC \), \( K \) принадлежит серединному перпендикуляру к \( BC \), \( \angle ACB = 40^{\circ} \).

Найти: \( \angle BCK \).

Решение:

1. В прямоугольном \( \triangle ABC \) найдём \( \angle BAC \): \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).
2. Так как \( AK \) — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle BAK = \angle KAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 50^{\circ} = 25^{\circ} \).
3. Пусть \( M \) — середина стороны \( BC \). Тогда \( KM \) — серединный перпендикуляр к \( BC \).
4. Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка. Следовательно, \( KB = KC \).
5. Рассмотрим \( \triangle KBC \). Так как \( KB = KC \), то \( \triangle KBC \) — равнобедренный.
6. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle KBC = \angle KCB \).
7. Так как \( \angle KBC \) является частью \( \angle ABC = 90^{\circ} \), и \( \angle ACB = 40^{\circ} \), то \( \angle KCB = \angle ACB = 40^{\circ} \).
8. Следовательно, \( \angle KBC = 40^{\circ} \).
9. Проверим: \( \angle BKC = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
10. Теперь найдём \( \angle BCK \). Из шага 6, \( \angle KCB = 40^{\circ} \).
11. Значит, \( \angle BCK = 40^{\circ} \).

Ответ: 40