24. Тип 24 № 51 В параллелограмме ABCD точка Е середина стороны АВ. Известно, что ЕС=ED. Докажите, что данный параллелограмм прямоугольник.

Решение:

Дано: ABCD — параллелограмм, E — середина AB, EC = ED.

Доказать: ABCD — прямоугольник.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle EBC \) и \( \triangle EAD \).
2. Так как ABCD — параллелограмм, то \( AB = CD \) и \( AD = BC \).
3. По условию, E — середина AB, значит \( AE = EB = \frac{1}{2} AB \).
4. Следовательно, \( EB = AE \).
5. Рассмотрим \( \triangle EBC \) и \( \triangle EAD \). Мы имеем: \( EB = AE \) (по п. 3), \( BC = AD \) (по п. 2), \( EC = ED \) (по условию).
6. По трём сторонам \( \triangle EBC = \triangle EAD \).
7. Из равенства треугольников следует, что \( \angle EBC = \angle EAD \).
8. Так как ABCD — параллелограмм, то \( \angle ABC = \angle ADC \) и \( \angle BAD = \angle BCD \).
9. Углы \( \angle EBC \) и \( \angle EAD \) являются частями углов \( \angle ABC \) и \( \angle BAD \) соответственно.
10. Поскольку \( \angle EBC = \angle EAD \), и \( \angle ABC \) и \( \angle BAD \) — соседние углы параллелограмма, которые в сумме дают \( 180^{\circ} \), а \( AE=EB \) и \( BC=AD \), то \( \angle ABC = \angle BAD \).
11. Если в параллелограмме равны два соседних угла, то все углы равны \( 90^{\circ} \), то есть параллелограмм является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.