20. В параллелограмме ABCD на параллельных сторонах AB и CD взяли точки M и K так, что AM = CK. Докажите, что отрезок MK проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому \(O\) является центром центральной симметрии, переводящей вершину \(A\) в вершину \(C\), а сторону \(AB\) — в сторону \(CD\).

При этой симметрии точка \(M\) переходит в точку на стороне \(CD\), расположенную от \(C\) на расстоянии \(AM\). По условию \(AM=CK\), следовательно, образом точки \(M\) является точка \(K\).

Центр симметрии лежит на отрезке, соединяющем симметричные точки. Значит, точки \(M\), \(O\), \(K\) лежат на одной прямой.

Следовательно, отрезок \(MK\) проходит через точку пересечения диагоналей.