21. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 153 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью, на 16 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого теплохода (км/ч), а \( v_2 \) — скорость второго теплохода (км/ч).

Расстояние между пристанями \( S = 153 \) км.

По условию, \( v_2 = v_1 + 16 \).

Пусть \( t_1 \) — время в пути первого теплохода (ч), а \( t_2 \) — время в пути второго теплохода (ч).

По условию, второй теплоход отправился на 4 часа позже, но оба прибыли одновременно. Это значит, что время в пути первого теплохода на 4 часа больше времени второго:

\( t_1 = t_2 + 4 \) или \( t_2 = t_1 - 4 \).

Мы знаем, что расстояние равно скорости, умноженной на время: \( S = v \cdot t \).

Для первого теплохода: \( 153 = v_1 \cdot t_1 \) => \( t_1 = \frac{153}{v_1} \).

Для второго теплохода: \( 153 = v_2 \cdot t_2 \) => \( t_2 = \frac{153}{v_2} \).

Теперь подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение \( t_2 = t_1 - 4 \):

\[ \frac{153}{v_2} = \frac{153}{v_1} - 4 \]

Заменим \( v_2 \) на \( v_1 + 16 \):

\[ \frac{153}{v_1 + 16} = \frac{153}{v_1} - 4 \]

Чтобы решить это уравнение, приведем правую часть к общему знаменателю:

\[ \frac{153}{v_1 + 16} = \frac{153 - 4v_1}{v_1} \]

Теперь перемножим крест-накрест:

\[ 153 v_1 = (153 - 4v_1)(v_1 + 16) \]\[ 153 v_1 = 153v_1 + 153 \cdot 16 - 4v_1^2 - 64v_1 \]

Упростим уравнение. Обратите внимание, что \( 153 \cdot 16 = 2448 \).

\[ 153 v_1 = 153v_1 + 2448 - 4v_1^2 - 64v_1 \]

Сократим \( 153v_1 \) с обеих сторон:

\[ 0 = 2448 - 4v_1^2 - 64v_1 \]

Перенесем члены так, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

\[ 4v_1^2 + 64v_1 - 2448 = 0 \]

Разделим все на 4 для упрощения:

\[ v_1^2 + 16v_1 - 612 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-612) \]\[ D = 256 + 2448 \]\[ D = 2704 \]

Найдем \( \sqrt{D} \). \( \sqrt{2704} = 52 \).

Найдем \( v_1 \):

\[ v_1 = \frac{-16 \pm 52}{2 \cdot 1} \]

У нас есть два возможных значения для \( v_1 \):

\[ v_{1,1} = \frac{-16 + 52}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]\[ v_{1,2} = \frac{-16 - 52}{2} = \frac{-68}{2} = -34 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Скорость первого теплохода \( v_1 = 18 \) км/ч.

Проверим: \( v_2 = 18 + 16 = 34 \) км/ч.

\( t_1 = \frac{153}{18} = 8.5 \) часа.

\( t_2 = \frac{153}{34} = 4.5 \) часа.

\( t_1 - t_2 = 8.5 - 4.5 = 4 \) часа. Условие выполнено.

Ответ: 18 км/ч.