21. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 8 км/ч?

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние от лагеря, которое проплыли туристы (в км).

Собственная скорость лодки \( v_{лодки} = 8 \) км/ч.

Скорость течения реки \( v_{течения} = 2 \) км/ч.

Скорость лодки вверх по течению (против течения): \( v_{вверх} = v_{лодки} - v_{течения} = 8 - 2 = 6 \) км/ч.

Скорость лодки вниз по течению (по течению): \( v_{вниз} = v_{лодки} + v_{течения} = 8 + 2 = 10 \) км/ч.

Время, затраченное на путь вверх по течению: \( t_{вверх} = \frac{S}{v_{вверх}} = \frac{S}{6} \) часов.

Время, затраченное на путь вниз по течению: \( t_{вниз} = \frac{S}{v_{вниз}} = \frac{S}{10} \) часов.

Общее время путешествия без учёта стоянки: \( t_{путешествия} = t_{вверх} + t_{вниз} = \frac{S}{6} + \frac{S}{10} \) часов.

Общее время от начала путешествия до возвращения составило 5 часов. Из них 3 часа туристы провели на берегу.

Значит, время, проведённое в пути: \( t_{движения} = 5 \text{ часов} - 3 \text{ часа} = 2 \) часа.

Составляем уравнение:

\( \frac{S}{6} + \frac{S}{10} = 2 \)

Приведём дроби к общему знаменателю (30):

\( \frac{5S}{30} + \frac{3S}{30} = 2 \)

\( \frac{8S}{30} = 2 \)

\( 8S = 2 · 30 \)

\( 8S = 60 \)

\( S = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5 \) км.

Ответ: 7.5 км.